Επίλυση 4x^2+7x-17=3x^2+12x-3

$$4 x ^ { 2 } + 7 x - 17 = 3 x ^ { 2 } + 12 x - 3$$

Λύση ως προς x

$$x=-2$$

$$x=7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+7x-17-3x^{2}=12x-3$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -3x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}+7x-17=12x-3$$

Αφαιρέστε 12x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+7x-17-12x=-3$$

Συνδυάστε το 7x και το -12x για να λάβετε -5x.

$$x^{2}-5x-17=-3$$

Προσθήκη 3 και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-5x-17+3=0$$

Προσθέστε -17 και 3 για να λάβετε -14.

$$x^{2}-5x-14=0$$

Για την επίλυση της εξίσωσης, παραγοντοποιήστε την παράσταση x^{2}-5x-14 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-5 ab=-14$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -14.

$$1,-14 2,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-14=-13 2-7=-5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-7 b=2$$

Η επανεγγραφή της παράστασης παραγοντοποιήθηκε \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που λήφθηκαν.

$$\left(x-7\right)\left(x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-7=0 και x+2=0.

$$x=7 x=-2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+7x-17-3x^{2}=12x-3$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -3x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}+7x-17=12x-3$$

Αφαιρέστε 12x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+7x-17-12x=-3$$

Συνδυάστε το 7x και το -12x για να λάβετε -5x.

$$x^{2}-5x-17=-3$$

Προσθήκη 3 και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-5x-17+3=0$$

Προσθέστε -17 και 3 για να λάβετε -14.

$$x^{2}-5x-14=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-14. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-5 ab=1\left(-14\right)=-14$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -14.

$$1,-14 2,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-14=-13 2-7=-5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-7 b=2$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-5x-14 ως \left(x^{2}-7x\right)+\left(2x-14\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(2x-14\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το 2 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(x-7\right)+2\left(x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-7\right)\left(x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-7=0 και x+2=0.

$$x=7 x=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+7x-17-3x^{2}=12x-3$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -3x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}+7x-17=12x-3$$

Αφαιρέστε 12x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+7x-17-12x=-3$$

Συνδυάστε το 7x και το -12x για να λάβετε -5x.

$$x^{2}-5x-17=-3$$

Προσθήκη 3 και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-5x-17+3=0$$

Προσθέστε -17 και 3 για να λάβετε -14.

$$x^{2}-5x-14=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -5 και το c με -14 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-14\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -14.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+56}}{2}$$

Προσθέστε το 25 και το 56.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{81}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 81.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±9}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5 είναι 5.

$$x=\frac{5±9}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±9}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 5 και το 9.

$$x=\frac{14}{2}$$

Διαιρέστε το 14 με το 2.

$$x=7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±9}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 9 από 5.

$$x=-\frac{4}{2}$$

Διαιρέστε το -4 με το 2.

$$x=-2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=7 x=-2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+7x-17-3x^{2}=12x-3$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -3x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}+7x-17=12x-3$$

Αφαιρέστε 12x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+7x-17-12x=-3$$

Συνδυάστε το 7x και το -12x για να λάβετε -5x.

$$x^{2}-5x-17=-3$$

Προσθήκη 17 και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-5x=-3+17$$

Προσθέστε -3 και 17 για να λάβετε 14.

$$x^{2}-5x=14$$

Διαιρέστε το -5, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=14+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=14+\frac{25}{4}$$

Προσθέστε το 14 και το \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{81}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{9}{2}$$

Προσθέστε \frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=7 x=-2$$