Επίλυση 4x^2+7x=1

$$4 x ^ { 2 } + 7 x = 1$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8}\approx 0,132782219$$

$$x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}\approx -1,882782219$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}+7x=1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}+7x-1=1-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}+7x-1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 7 και το c με -1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 49 και το 16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -7 και το \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{65} από -7.

$$x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+7x=1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{1}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Διαιρέστε το \frac{7}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{7}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{7}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{7}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Προσθέστε το \frac{1}{4} και το \frac{49}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Παραγον x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Αφαιρέστε \frac{7}{8} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$