Επίλυση 4x^2+6x-1>0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x - 1 > 0$$

Λύση ως προς x

$$x\in \left(-\infty,\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{13}-3}{4},\infty\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Για να επιλύσετε τις ανισότητες, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά. Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+6x-1=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 4 για a, 6 για b και -1 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{13}}{8}$$

Επιλύστε την εξίσωση x=\frac{-6±2\sqrt{13}}{8} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=\frac{\sqrt{13}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{13}-3}{4}$$

Γράψτε ξανά τις ανισότητες, χρησιμοποιώντας τις λύσεις που βρέθηκαν.

$$4\left(x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\right)>0$$

Για να είναι το γινόμενο θετικό, τα x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} και x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} πρέπει να είναι και τα δύο αρνητικά ή και τα δύο θετικά. Σκεφτείτε την περίπτωση όταν τα x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} και x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} είναι και τα δύο αρνητικά.

$$x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}<0 x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}<0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}.

$$x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}$$

Σκεφτείτε την περίπτωση όταν τα x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} και x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} είναι τα δύο θετικά.

$$x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}>0 x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}>0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}.

$$x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}$$

Η τελική λύση είναι η ένωση των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\text{; }x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}$$