Επίλυση 4x^2+6x+10=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}\approx -0,75+1,391941091i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}\approx -0,75-1,391941091i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}+6x+10=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 6 και το c με 10 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 6 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16\times 10}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-160}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 36 και το -160.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-124}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -124.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -6 και το 2i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{31}i}{8}$$

Διαιρέστε το -6+2i\sqrt{31} με το 8.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{31} από -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-6}{8}$$

Διαιρέστε το -6-2i\sqrt{31} με το 8.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+6x+10=0$$

Αφαιρέστε 10 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}+6x+10-10=-10$$

Η αφαίρεση του 10 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}+6x=-10$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{10}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{10}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-10}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Διαιρέστε το \frac{3}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Προσθέστε το -\frac{5}{2} και το \frac{9}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{31}{16}$$

Παραγον x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{31}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{31}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{31}i}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$