Επίλυση 4x^2+4x=15

$$4 x ^ { 2 } + 4 x = 15$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 15 και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+4x-15=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx-15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 4.

$$a=-6 b=10$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}+4x-15 ως \left(4x^{2}-6x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(10x-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-3=0 και 2x+5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}+4x=15$$

Αφαιρέστε 15 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}+4x-15=15-15$$

Η αφαίρεση του 15 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}+4x-15=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 4 και το c με -15 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 16 και το 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-4±16}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±16}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 16.

$$x=\frac{12}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±16}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 16 από -4.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-20}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=15$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{15}{4}$$

Διαιρέστε το 4 με το 4.

$$x^{2}+x=\frac{15}{4}$$

Διαιρέστε το 1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Προσθέστε το \frac{15}{4} και το \frac{1}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=4$$

Παραγον x^{2}+x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{2}=2 x+\frac{1}{2}=-2$$

Αφαιρέστε \frac{1}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$