Επίλυση 4x^2+30x+14

$$4 x ^ { 2 } + 30 x + 14$$

Παράγοντας

$$2\left(x+7\right)\left(2x+1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 2.

$$2\left(2x^{2}+15x+7\right)$$

Υπολογίστε 2x^{2}+15x+7. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx+7. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=15 ab=2\times 7=14$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 14.

$$1,14 2,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+14=15 2+7=9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 15.

$$a=1 b=14$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}+15x+7 ως \left(2x^{2}+x\right)+\left(14x+7\right).

$$\left(2x^{2}+x\right)+\left(14x+7\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(2x+1\right)+7\left(2x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x+1\right)\left(x+7\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$2\left(2x+1\right)\left(x+7\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+30x+14=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 30 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-16\times 14}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 14.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-224}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 900 και το -224.

$$x=\frac{-30±\sqrt{676}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 676.

$$x=\frac{-30±26}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-30±26}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-30±26}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -30 και το 26.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-30±26}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 26 από -30.

$$x=-\frac{56}{8}$$

Διαιρέστε το -56 με το 8.

$$x=-7$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{1}{2} με το x_{1} και το -7 με το x_{2}.

$$4x^{2}+30x+14=4\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(-7\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$4x^{2}+30x+14=4\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+7\right)$$

Προσθέστε το \frac{1}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$4x^{2}+30x+14=4\times \frac{2x+1}{2}\left(x+7\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 2 σε 4 και 2.

$$4x^{2}+30x+14=2\left(2x+1\right)\left(x+7\right)$$

Υπολογισμός

$$2\left(x+7\right)\left(2x+1\right)$$