Επίλυση 4x^2+28x+40=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 40 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-5$$

$$x=-2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=7 ab=1\times 10=10$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 10.

$$1,10 2,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+10=11 2+5=7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 7.

$$a=2 b=5$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+7x+10 ως \left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x+2\right)+5\left(x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+2=0 και x+5=0.

$$x=-2 x=-5$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 28 και το c με 40 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 28 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 40.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 784 και το -640.

$$x=\frac{-28±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 144.

$$x=\frac{-28±12}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-28±12}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-28±12}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -28 και το 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Διαιρέστε το -16 με το 8.

$$x=-2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-28±12}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12 από -28.

$$x=-\frac{40}{8}$$

Διαιρέστε το -40 με το 8.

$$x=-5$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-2 x=-5$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Αφαιρέστε 40 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}+28x+40-40=-40$$

Η αφαίρεση του 40 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}+28x=-40$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{40}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{40}{4}$$

Διαιρέστε το 28 με το 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{40}{4}$$

Διαιρέστε το -40 με το 4.

$$x^{2}+7x=-10$$

Διαιρέστε το 7, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{7}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{7}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{7}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Προσθέστε το -10 και το \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Παραγον x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{7}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-2 x=-5$$