Επίλυση 4x^2+24x+35

$$4 x ^ { 2 } + 24 x + 35$$

Παράγοντας

$$\left(2x+5\right)\left(2x+7\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx+35. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=24 ab=4\times 35=140$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 140.

$$1,140 2,70 4,35 5,28 7,20 10,14$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+140=141 2+70=72 4+35=39 5+28=33 7+20=27 10+14=24$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 24.

$$a=10 b=14$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}+24x+35 ως \left(4x^{2}+10x\right)+\left(14x+35\right).

$$\left(4x^{2}+10x\right)+\left(14x+35\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(2x+5\right)+7\left(2x+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x+5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x+5\right)\left(2x+7\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+24x+35=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 4\times 35}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 24 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 4\times 35}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-16\times 35}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 35.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-560}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 576 και το -560.

$$x=\frac{-24±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$x=\frac{-24±4}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-24±4}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-24±4}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -24 και το 4.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-20}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-24±4}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από -24.

$$x=-\frac{28}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-28}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{5}{2} με το x_{1} και το -\frac{7}{2} με το x_{2}.

$$4x^{2}+24x+35=4\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{7}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$4x^{2}+24x+35=4\left(x+\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{7}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$4x^{2}+24x+35=4\times \frac{2x+5}{2}\left(x+\frac{7}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{7}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$4x^{2}+24x+35=4\times \frac{2x+5}{2}\times \frac{2x+7}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2x+5}{2} επί \frac{2x+7}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$4x^{2}+24x+35=4\times \frac{\left(2x+5\right)\left(2x+7\right)}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$4x^{2}+24x+35=4\times \frac{\left(2x+5\right)\left(2x+7\right)}{4}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 4 σε 4 και 4.

$$4x^{2}+24x+35=\left(2x+5\right)\left(2x+7\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2x+5\right)\left(2x+7\right)$$