Επίλυση 4x^2+14x-27=0

$$4 x ^ { 2 } + 14 x - 27 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{157} - 7}{4} \approx 1,382491022$$

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}\approx -4,882491022$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 14 και το c με -27 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 14 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -27.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+432}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 196 και το 432.

$$x=\frac{-14±\sqrt{628}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 628.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -14 και το 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}-14}{8}$$

Διαιρέστε το -14+2\sqrt{157} με το 8.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{157} από -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{157}-14}{8}$$

Διαιρέστε το -14-2\sqrt{157} με το 8.

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Προσθέστε 27 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}+14x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Η αφαίρεση του -27 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}+14x=-\left(-27\right)$$

Αφαιρέστε -27 από 0.

$$4x^{2}+14x=27$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}+14x}{4}=\frac{27}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\frac{14}{4}x=\frac{27}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{14}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{27}{4}$$

Διαιρέστε το \frac{7}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{7}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{7}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{7}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{27}{4}+\frac{49}{16}$$

Προσθέστε το \frac{27}{4} και το \frac{49}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{157}{16}$$

Παραγον x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{157}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{157}}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{157}}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{7}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$