Επίλυση 4x^2+12x+5

$$4 x ^ { 2 } + 12 x + 5$$

Παράγοντας

$$\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx+5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=12 ab=4\times 5=20$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 12.

$$a=2 b=10$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}+12x+5 ως \left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(2x+1\right)+5\left(2x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+12x+5=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 5}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 5.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-80}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 144 και το -80.

$$x=\frac{-12±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 64.

$$x=\frac{-12±8}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-12±8}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±8}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -12 και το 8.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±8}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8 από -12.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-20}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{1}{2} με το x_{1} και το -\frac{5}{2} με το x_{2}.

$$4x^{2}+12x+5=4\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$4x^{2}+12x+5=4\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{1}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$4x^{2}+12x+5=4\times \frac{2x+1}{2}\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$4x^{2}+12x+5=4\times \frac{2x+1}{2}\times \frac{2x+5}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2x+1}{2} επί \frac{2x+5}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$4x^{2}+12x+5=4\times \frac{\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$4x^{2}+12x+5=4\times \frac{\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)}{4}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 4 σε 4 και 4.

$$4x^{2}+12x+5=\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$