Επίλυση 4x^2+12x+19=0

$$4 x ^ { 2 } + 12 x + 19 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}\approx -1,5+1,58113883i$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}\approx -1,5-1,58113883i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 12 και το c με 19 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 19}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 19.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-304}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 144 και το -304.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-160}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -160.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -12 και το 4i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{10}i}{8}$$

Διαιρέστε το -12+4i\sqrt{10} με το 8.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4i\sqrt{10} από -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{10}i-12}{8}$$

Διαιρέστε το -12-4i\sqrt{10} με το 8.

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Αφαιρέστε 19 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}+12x+19-19=-19$$

Η αφαίρεση του 19 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}+12x=-19$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}+12x}{4}=-\frac{19}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\frac{12}{4}x=-\frac{19}{4}$$

Διαιρέστε το 12 με το 4.

$$x^{2}+3x=-\frac{19}{4}$$

Διαιρέστε το 3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-19+9}{4}$$

Προσθέστε το -\frac{19}{4} και το \frac{9}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{5}{2}$$

Παραγον x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{2}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{10}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{10}i}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$