Επίλυση 4x^2+110x+25=0

$$4 x ^ { 2 } + 110 x + 25 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4}\approx -0,229182717$$

$$x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}\approx -27,270817283$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}+110x+25=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 110 και το c με 25 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-110±\sqrt{110^{2}-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 110 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-16\times 25}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 25.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-400}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 12100 και το -400.

$$x=\frac{-110±\sqrt{11700}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 11700.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -110 και το 30\sqrt{13}.

$$x=\frac{30\sqrt{13}-110}{8}$$

Διαιρέστε το -110+30\sqrt{13} με το 8.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 30\sqrt{13} από -110.

$$x=\frac{-30\sqrt{13}-110}{8}$$

Διαιρέστε το -110-30\sqrt{13} με το 8.

$$x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4} x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+110x+25=0$$

Αφαιρέστε 25 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}+110x+25-25=-25$$

Η αφαίρεση του 25 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}+110x=-25$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}+110x}{4}=-\frac{25}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\frac{110}{4}x=-\frac{25}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{110}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x=-\frac{25}{4}$$

Διαιρέστε το \frac{55}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{55}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{55}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\left(\frac{55}{4}\right)^{2}=-\frac{25}{4}+\left(\frac{55}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{55}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}=-\frac{25}{4}+\frac{3025}{16}$$

Προσθέστε το -\frac{25}{4} και το \frac{3025}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}=\frac{2925}{16}$$

Παραγον x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{55}{4}\right)^{2}=\frac{2925}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{55}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2925}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{55}{4}=\frac{15\sqrt{13}}{4} x+\frac{55}{4}=-\frac{15\sqrt{13}}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{55}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4} x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$