Επίλυση 4x^2+11x-20=0

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx-20. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -80.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 11.

$$a=-5 b=16$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}+11x-20 ως \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 4x-5=0 και x+4=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 11 και το c με -20 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -20.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 121 και το 320.

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 441.

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±21}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -11 και το 21.

$$x=\frac{10}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{10}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±21}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 21 από -11.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Διαιρέστε το -32 με το 8.

$$x=-4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Προσθέστε 20 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Η αφαίρεση του -20 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

Αφαιρέστε -20 από 0.

$$4x^{2}+11x=20$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

Διαιρέστε το 20 με το 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

Διαιρέστε το \frac{11}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{11}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{11}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{11}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

Προσθέστε το 5 και το \frac{121}{64}.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

Παραγον x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

Αφαιρέστε \frac{11}{8} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$