Επίλυση 4s^2+32s+63=0

$$4 s ^ { 2 } + 32 s + 63 = 0$$

Λύση ως προς s

$$s = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$s = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4s^{2}+as+bs+63. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=32 ab=4\times 63=252$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 252.

$$1,252 2,126 3,84 4,63 6,42 7,36 9,28 12,21 14,18$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+252=253 2+126=128 3+84=87 4+63=67 6+42=48 7+36=43 9+28=37 12+21=33 14+18=32$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 32.

$$a=14 b=18$$

Γράψτε πάλι το 4s^{2}+32s+63 ως \left(4s^{2}+14s\right)+\left(18s+63\right).

$$\left(4s^{2}+14s\right)+\left(18s+63\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2s στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$2s\left(2s+7\right)+9\left(2s+7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2s+7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2s+7\right)\left(2s+9\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2s+7=0 και 2s+9=0.

$$s=-\frac{7}{2} s=-\frac{9}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4s^{2}+32s+63=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 32 και το c με 63 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$s=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 4\times 63}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 32 στο τετράγωνο.

$$s=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 4\times 63}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$s=\frac{-32±\sqrt{1024-16\times 63}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 63.

$$s=\frac{-32±\sqrt{1024-1008}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 1024 και το -1008.

$$s=\frac{-32±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$s=\frac{-32±4}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$s=\frac{-32±4}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση s=\frac{-32±4}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -32 και το 4.

$$s=-\frac{28}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-28}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$s=-\frac{7}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση s=\frac{-32±4}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από -32.

$$s=-\frac{36}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-36}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$s=-\frac{9}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$s=-\frac{7}{2} s=-\frac{9}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4s^{2}+32s+63=0$$

Αφαιρέστε 63 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4s^{2}+32s+63-63=-63$$

Η αφαίρεση του 63 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4s^{2}+32s=-63$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4s^{2}+32s}{4}=-\frac{63}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$s^{2}+\frac{32}{4}s=-\frac{63}{4}$$

Διαιρέστε το 32 με το 4.

$$s^{2}+8s=-\frac{63}{4}$$

Διαιρέστε το 8, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 4. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$s^{2}+8s+4^{2}=-\frac{63}{4}+4^{2}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$s^{2}+8s+16=-\frac{63}{4}+16$$

Προσθέστε το -\frac{63}{4} και το 16.

$$s^{2}+8s+16=\frac{1}{4}$$

Παραγον s^{2}+8s+16. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(s+4\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(s+4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$s+4=\frac{1}{2} s+4=-\frac{1}{2}$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$s=-\frac{7}{2} s=-\frac{9}{2}$$