Επίλυση 4p^2-3p-10=0

$$4 p ^ { 2 } - 3 p - 10 = 0$$

Λύση ως προς p

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$p=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4p^{2}+ap+bp-10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-3 ab=4\left(-10\right)=-40$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -3.

$$a=-8 b=5$$

Γράψτε πάλι το 4p^{2}-3p-10 ως \left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right).

$$\left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4p στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$4p\left(p-2\right)+5\left(p-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο p-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(p-2\right)\left(4p+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε p-2=0 και 4p+5=0.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -3 και το c με -10 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -10.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+160}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 9 και το 160.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±13}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -3 είναι 3.

$$p=\frac{3±13}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$p=\frac{3±13}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση p=\frac{3±13}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 3 και το 13.

$$p=\frac{16}{8}$$

Διαιρέστε το 16 με το 8.

$$p=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση p=\frac{3±13}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από 3.

$$p=-\frac{10}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-10}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$p=-\frac{5}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Προσθέστε 10 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4p^{2}-3p-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Η αφαίρεση του -10 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4p^{2}-3p=-\left(-10\right)$$

Αφαιρέστε -10 από 0.

$$4p^{2}-3p=10$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4p^{2}-3p}{4}=\frac{10}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{10}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{10}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{5}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{3}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

Προσθέστε το \frac{5}{2} και το \frac{9}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{169}{64}$$

Παραγον p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$p-\frac{3}{8}=\frac{13}{8} p-\frac{3}{8}=-\frac{13}{8}$$

Προσθέστε \frac{3}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$