Επίλυση 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Λύση ως προς n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 11 και από τις δύο πλευρές.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4n^{2}+an+bn-11. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-11 b=4$$

Γράψτε πάλι το 4n^{2}-7n-11 ως \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Παραγοντοποιήστε το n στην εξίσωση 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4n-11 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 4n-11=0 και n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4n^{2}-7n=11$$

Αφαιρέστε 11 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Η αφαίρεση του 11 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -7 και το c με -11 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 49 και το 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{7±15}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{22}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{7±15}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 15 από 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Διαιρέστε το -8 με το 8.

$$n=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Διαιρέστε το -\frac{7}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Προσθέστε το \frac{11}{4} και το \frac{49}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Παραγοντοποιήστε το n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Προσθέστε \frac{7}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$