Επίλυση 4n^2-2n-90

$$4 n ^ { 2 } - 2 n - 90$$

Παράγοντας

$$2\left(n-5\right)\left(2n+9\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 2.

$$2\left(2n^{2}-n-45\right)$$

Υπολογίστε 2n^{2}-n-45. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2n^{2}+an+bn-45. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=2\left(-45\right)=-90$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-10 b=9$$

Γράψτε πάλι το 2n^{2}-n-45 ως \left(2n^{2}-10n\right)+\left(9n-45\right).

$$\left(2n^{2}-10n\right)+\left(9n-45\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2n στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$2n\left(n-5\right)+9\left(n-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο n-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(n-5\right)\left(2n+9\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$2\left(n-5\right)\left(2n+9\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$4n^{2}-2n-90=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$n=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-90\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-90\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$n=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-90\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -90.

$$n=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+1440}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 4 και το 1440.

$$n=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{1444}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1444.

$$n=\frac{-\left(-2\right)±38}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$n=\frac{2±38}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$n=\frac{2±38}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{2±38}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 38.

$$n=\frac{40}{8}$$

Διαιρέστε το 40 με το 8.

$$n=5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{2±38}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 38 από 2.

$$n=-\frac{36}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-36}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$n=-\frac{9}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 5 με το x_{1} και το -\frac{9}{2} με το x_{2}.

$$4n^{2}-2n-90=4\left(n-5\right)\left(n-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$4n^{2}-2n-90=4\left(n-5\right)\left(n+\frac{9}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{9}{2} και το n βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$4n^{2}-2n-90=4\left(n-5\right)\times \frac{2n+9}{2}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 2 σε 4 και 2.

$$4n^{2}-2n-90=2\left(n-5\right)\left(2n+9\right)$$

Υπολογισμός

$$2\left(n-5\right)\left(2n+9\right)$$