Επίλυση 4m^2+4m-15

$$4 m ^ { 2 } + 4 m - 15$$

Παράγοντας

$$\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4m^{2}+am+bm-15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 4.

$$a=-6 b=10$$

Γράψτε πάλι το 4m^{2}+4m-15 ως \left(4m^{2}-6m\right)+\left(10m-15\right).

$$\left(4m^{2}-6m\right)+\left(10m-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2m στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$2m\left(2m-3\right)+5\left(2m-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2m-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$4m^{2}+4m-15=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$m=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -15.

$$m=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 16 και το 240.

$$m=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 256.

$$m=\frac{-4±16}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$m=\frac{-4±16}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση m=\frac{-4±16}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 16.

$$m=\frac{12}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$m=\frac{3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση m=\frac{-4±16}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 16 από -4.

$$m=-\frac{20}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-20}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$m=-\frac{5}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{2} με το x_{1} και το -\frac{5}{2} με το x_{2}.

$$4m^{2}+4m-15=4\left(m-\frac{3}{2}\right)\left(m-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$4m^{2}+4m-15=4\left(m-\frac{3}{2}\right)\left(m+\frac{5}{2}\right)$$

Αφαιρέστε m από \frac{3}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$4m^{2}+4m-15=4\times \frac{2m-3}{2}\left(m+\frac{5}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{2} και το m βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$4m^{2}+4m-15=4\times \frac{2m-3}{2}\times \frac{2m+5}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2m-3}{2} επί \frac{2m+5}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$4m^{2}+4m-15=4\times \frac{\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$4m^{2}+4m-15=4\times \frac{\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)}{4}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 4 σε 4 και 4.

$$4m^{2}+4m-15=\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)$$