Επίλυση 4j^2=-7+29j

$$4 j ^ { 2 } = - 7 + 29 j$$

Λύση ως προς j

$$j=\frac{1}{4}=0,25$$

$$j=7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε -7 και από τις δύο πλευρές.

$$4j^{2}-\left(-7\right)=29j$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$4j^{2}+7=29j$$

Αφαιρέστε 29j και από τις δύο πλευρές.

$$4j^{2}+7-29j=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$4j^{2}-29j+7=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4j^{2}+aj+bj+7. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-29 ab=4\times 7=28$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -29.

$$a=-28 b=-1$$

Γράψτε πάλι το 4j^{2}-29j+7 ως \left(4j^{2}-28j\right)+\left(-j+7\right).

$$\left(4j^{2}-28j\right)+\left(-j+7\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4j στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$4j\left(j-7\right)-\left(j-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο j-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(j-7\right)\left(4j-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε j-7=0 και 4j-1=0.

$$j=7 j=\frac{1}{4}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε -7 και από τις δύο πλευρές.

$$4j^{2}-\left(-7\right)=29j$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$4j^{2}+7=29j$$

Αφαιρέστε 29j και από τις δύο πλευρές.

$$4j^{2}+7-29j=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4j^{2}-29j+7=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -29 και το c με 7 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$j=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -29 στο τετράγωνο.

$$j=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$j=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-16\times 7}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 7.

$$j=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-112}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 841 και το -112.

$$j=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{729}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 729.

$$j=\frac{-\left(-29\right)±27}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -29 είναι 29.

$$j=\frac{29±27}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$j=\frac{29±27}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση j=\frac{29±27}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 29 και το 27.

$$j=\frac{56}{8}$$

Διαιρέστε το 56 με το 8.

$$j=7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση j=\frac{29±27}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 27 από 29.

$$j=\frac{2}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$j=\frac{1}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$j=7 j=\frac{1}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 29j και από τις δύο πλευρές.

$$4j^{2}-29j=-7$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4j^{2}-29j}{4}=-\frac{7}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$j^{2}-\frac{29}{4}j=-\frac{7}{4}$$

Διαιρέστε το -\frac{29}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{29}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{29}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$j^{2}-\frac{29}{4}j+\left(-\frac{29}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{4}+\left(-\frac{29}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{29}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$j^{2}-\frac{29}{4}j+\frac{841}{64}=-\frac{7}{4}+\frac{841}{64}$$

Προσθέστε το -\frac{7}{4} και το \frac{841}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$j^{2}-\frac{29}{4}j+\frac{841}{64}=\frac{729}{64}$$

Παραγον j^{2}-\frac{29}{4}j+\frac{841}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(j-\frac{29}{8}\right)^{2}=\frac{729}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(j-\frac{29}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$j-\frac{29}{8}=\frac{27}{8} j-\frac{29}{8}=-\frac{27}{8}$$

Προσθέστε \frac{29}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$j=7 j=\frac{1}{4}$$