Επίλυση 4a^2+28a+48

$$4 a ^ { 2 } + 28 a + 48$$

Παράγοντας

$$4\left(a+3\right)\left(a+4\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 4.

$$4\left(a^{2}+7a+12\right)$$

Υπολογίστε a^{2}+7a+12. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως a^{2}+pa+qa+12. Για να βρείτε p και q, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$p+q=7 pq=1\times 12=12$$

Εφόσον pq είναι θετική, p και q έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η p+q είναι θετική, p και q είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 7.

$$p=3 q=4$$

Γράψτε πάλι το a^{2}+7a+12 ως \left(a^{2}+3a\right)+\left(4a+12\right).

$$\left(a^{2}+3a\right)+\left(4a+12\right)$$

Παραγοντοποιήστε a στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$a\left(a+3\right)+4\left(a+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο a+3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(a+3\right)\left(a+4\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$4\left(a+3\right)\left(a+4\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$4a^{2}+28a+48=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$a=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 48}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 28 στο τετράγωνο.

$$a=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 48}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$a=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 48}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 48.

$$a=\frac{-28±\sqrt{784-768}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 784 και το -768.

$$a=\frac{-28±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$a=\frac{-28±4}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$a=\frac{-28±4}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση a=\frac{-28±4}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -28 και το 4.

$$a=-\frac{24}{8}$$

Διαιρέστε το -24 με το 8.

$$a=-3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση a=\frac{-28±4}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από -28.

$$a=-\frac{32}{8}$$

Διαιρέστε το -32 με το 8.

$$a=-4$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -3 με το x_{1} και το -4 με το x_{2}.

$$4a^{2}+28a+48=4\left(a-\left(-3\right)\right)\left(a-\left(-4\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$4a^{2}+28a+48=4\left(a+3\right)\left(a+4\right)$$

Υπολογισμός

$$4\left(a+3\right)\left(a+4\right)$$