Επίλυση 4(x^2+1)(2x^2+1)=5(x^2-1)^2

$$4 ( x ^ { 2 } + 1 ) ( 2 x ^ { 2 } + 1 ) = 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 }$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx 2,716341211i$$

$$x=-\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx -0-2,716341211i$$

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το x^{2}+1.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4x^{2}+4 με το 2x^{2}+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Για να υψώσετε μια δύναμη σε μια άλλη δύναμη, πολλαπλασιάστε τους εκθέτες. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό 2 με τον αριθμό 2 για να λάβετε τον αριθμό 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5 με το x^{4}-2x^{2}+1.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Αφαιρέστε 5x^{4} και από τις δύο πλευρές.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Συνδυάστε το 8x^{4} και το -5x^{4} για να λάβετε 3x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Προσθήκη 10x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Συνδυάστε το 12x^{2} και το 10x^{2} για να λάβετε 22x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Αφαιρέστε 5 από 4 για να λάβετε -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Αντικαταστήστε το t με το x^{2}.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 3 για a, 22 για b και -1 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Επιλύστε την εξίσωση t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Αφού x=t^{2}, οι λύσεις ελέγχονται από την αξιολόγηση x=±\sqrt{t} για κάθε t.

$$x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}} x=i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}}$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το x^{2}+1.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4x^{2}+4 με το 2x^{2}+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Για να υψώσετε μια δύναμη σε μια άλλη δύναμη, πολλαπλασιάστε τους εκθέτες. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό 2 με τον αριθμό 2 για να λάβετε τον αριθμό 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5 με το x^{4}-2x^{2}+1.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Αφαιρέστε 5x^{4} και από τις δύο πλευρές.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Συνδυάστε το 8x^{4} και το -5x^{4} για να λάβετε 3x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Προσθήκη 10x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Συνδυάστε το 12x^{2} και το 10x^{2} για να λάβετε 22x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Αφαιρέστε 5 από 4 για να λάβετε -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Αντικαταστήστε το t με το x^{2}.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 3 για a, 22 για b και -1 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Επιλύστε την εξίσωση t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Αφού x=t^{2}, οι λύσεις ελέγχονται από την αξιολόγηση x=±\sqrt{t} για θετικές t.

$$x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}}$$