Επίλυση 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Αφαιρέστε 169 από 4 για να λάβετε -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx-165. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 8.

$$a=-22 b=30$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}+8x-165 ως \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 15 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-11 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-11=0 και 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Αφαιρέστε 169 από 4 για να λάβετε -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 8 και το c με -165 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 64 και το 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-8±52}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -8 και το 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{44}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-8±52}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 52 από -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-60}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Αφαιρέστε 169 από 4 για να λάβετε -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Προσθήκη 165 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$4x^{2}+8x=165$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Διαιρέστε το 8 με το 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Διαιρέστε το 2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Προσθέστε το \frac{165}{4} και το 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Παραγον x^{2}+2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$