Επίλυση 4x^2-x-3

$$4 { x }^{ 2 } -x-3$$

Παράγοντας

$$\left(x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-1 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-4 b=3$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}-x-3 ως \left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 4x στην πρώτη και το 3 στη δεύτερη ομάδα.

$$4x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-x-3=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 1 και το 48.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±7}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{1±7}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±7}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 7.

$$x=\frac{8}{8}$$

Διαιρέστε το 8 με το 8.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±7}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από 1.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Παραγοντοποιήστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας τον κανόνα ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 1 με x_{1} και το -\frac{3}{4} με x_{2}.

$$4x^{2}-x-3=4\left(x-1\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$4x^{2}-x-3=4\left(x-1\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{4} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$4x^{2}-x-3=4\left(x-1\right)\times \frac{4x+3}{4}$$

Απαλοιφή του 4, του μέγιστου κοινού παράγοντα σε 4 και 4.

$$4x^{2}-x-3=\left(x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-1\right)\left(4x+3\right)$$