Επίλυση 4x^2-7x-2

$$4 { x }^{ 2 } -7x-2$$

Παράγοντας

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-7 ab=4\left(-2\right)=-8$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -8.

$$1,-8 2,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-8 b=1$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}-7x-2 ως \left(4x^{2}-8x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 4x στην εξίσωση 4x^{2}-8x.

$$4x\left(x-2\right)+x-2$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-7x-2=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+32}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 49 και το 32.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 81.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±9}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$x=\frac{7±9}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{7±9}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±9}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το 9.

$$x=\frac{16}{8}$$

Διαιρέστε το 16 με το 8.

$$x=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±9}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 9 από 7.

$$x=-\frac{2}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Παραγοντοποιήστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας τον κανόνα ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 2 με x_{1} και το -\frac{1}{4} με x_{2}.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Προσθέστε το \frac{1}{4} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\times \frac{4x+1}{4}$$

Απαλοιφή του 4, του μέγιστου κοινού παράγοντα σε 4 και 4.

$$4x^{2}-7x-2=\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$