Επίλυση 4x^2-6x+4=0

$$4 { x }^{ 2 } -6x+4=0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{4}\approx 0,75+0,661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{4}\approx 0,75-0,661437828i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}-6x+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -6 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 4\times 4}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -6 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 4\times 4}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-16\times 4}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-64}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 36 και το -64.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-28}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -28.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -6 είναι 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{6±2\sqrt{7}i}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{6±2\sqrt{7}i}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 6 και το 2i\sqrt{7}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{7}i}{8}$$

Διαιρέστε το 6+2i\sqrt{7} με το 8.

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{6±2\sqrt{7}i}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{7} από 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}i+6}{8}$$

Διαιρέστε το 6-2i\sqrt{7} με το 8.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-6x+4=0$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}-6x+4-4=-4$$

Η αφαίρεση του 4 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}-6x=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-6x}{4}=-\frac{4}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{4}\right)x=-\frac{4}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{4}$$

Διαιρέστε το -4 με το 4.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-1$$

Διαιρέστε το -\frac{3}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-1+\frac{9}{16}$$

Προσθέστε το -1 και το \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Προσθέστε \frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{4}$$