Επίλυση 4x^2-4x-16=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2,561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,561552813$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -4 και το c με -16 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 16 και το 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 272.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -4 είναι 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 4 και το 4\sqrt{17}.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

Διαιρέστε το 4+4\sqrt{17} με το 8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4\sqrt{17} από 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

Διαιρέστε το 4-4\sqrt{17} με το 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Προσθέστε 16 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Η αφαίρεση του -16 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

Αφαιρέστε -16 από 0.

$$4x^{2}-4x=16$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

Διαιρέστε το -4 με το 4.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

Διαιρέστε το 16 με το 4.

$$x^{2}-x=4$$

Διαιρέστε το -1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 4 και το \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

Παραγον x^{2}-x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Προσθέστε \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$