Επίλυση 4x^2-35x+49

$$4 { x }^{ 2 } -35x+49$$

Παράγοντας

$$\left(x-7\right)\left(4x-7\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx+49. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-35 ab=4\times 49=196$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 196.

$$-1,-196 -2,-98 -4,-49 -7,-28 -14,-14$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-196=-197 -2-98=-100 -4-49=-53 -7-28=-35 -14-14=-28$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -35.

$$a=-28 b=-7$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}-35x+49 ως \left(4x^{2}-28x\right)+\left(-7x+49\right).

$$\left(4x^{2}-28x\right)+\left(-7x+49\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4x στο πρώτο και στο -7 της δεύτερης ομάδας.

$$4x\left(x-7\right)-7\left(x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-7\right)\left(4x-7\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-35x+49=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{\left(-35\right)^{2}-4\times 4\times 49}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -35 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-4\times 4\times 49}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-16\times 49}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 49.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-784}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 1225 και το -784.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 441.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±21}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -35 είναι 35.

$$x=\frac{35±21}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{35±21}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{35±21}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 35 και το 21.

$$x=\frac{56}{8}$$

Διαιρέστε το 56 με το 8.

$$x=7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{35±21}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 21 από 35.

$$x=\frac{14}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{14}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{7}{4}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 7 με το x_{1} και το \frac{7}{4} με το x_{2}.

$$4x^{2}-35x+49=4\left(x-7\right)\left(x-\frac{7}{4}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{7}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$4x^{2}-35x+49=4\left(x-7\right)\times \frac{4x-7}{4}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 4 σε 4 και 4.

$$4x^{2}-35x+49=\left(x-7\right)\left(4x-7\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-7\right)\left(4x-7\right)$$