Επίλυση 4x^2-2x-3=0

$$4 { x }^{ 2 } -2x-3 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{13} + 1}{4} \approx 1,151387819$$

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}\approx -0,651387819$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}-2x-3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -2 και το c με -3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+48}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 4 και το 48.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{52}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 52.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{13}}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{13}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{13}}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{13}}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 2\sqrt{13}.

$$x=\frac{2\sqrt{13}+2}{8}$$

Διαιρέστε το 2+2\sqrt{13} με το 8.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{13}}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{13} από 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{13}}{8}$$

Διαιρέστε το 2-2\sqrt{13} με το 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x-3=0$$

Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}-2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Η αφαίρεση του -3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}-2x=-\left(-3\right)$$

Αφαιρέστε -3 από 0.

$$4x^{2}-2x=3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{3}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{3}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{3}{4}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3}{4}+\frac{1}{16}$$

Προσθέστε το \frac{3}{4} και το \frac{1}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{13}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{13}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{13}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{13}}{4}$$

Προσθέστε \frac{1}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}$$