Επίλυση 4x^2-21x-18

$$4 { x }^{ 2 } -21x-18$$

Παράγοντας

$$\left(x-6\right)\left(4x+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx-18. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-21 ab=4\left(-18\right)=-72$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -72.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -21.

$$a=-24 b=3$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}-21x-18 ως \left(4x^{2}-24x\right)+\left(3x-18\right).

$$\left(4x^{2}-24x\right)+\left(3x-18\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$4x\left(x-6\right)+3\left(x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-6\right)\left(4x+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-21x-18=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 4\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -21 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 4\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-16\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -18.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+288}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 441 και το 288.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{729}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 729.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±27}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -21 είναι 21.

$$x=\frac{21±27}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{21±27}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{21±27}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 21 και το 27.

$$x=\frac{48}{8}$$

Διαιρέστε το 48 με το 8.

$$x=6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{21±27}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 27 από 21.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 6 με το x_{1} και το -\frac{3}{4} με το x_{2}.

$$4x^{2}-21x-18=4\left(x-6\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$4x^{2}-21x-18=4\left(x-6\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{4} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$4x^{2}-21x-18=4\left(x-6\right)\times \frac{4x+3}{4}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 4 σε 4 και 4.

$$4x^{2}-21x-18=\left(x-6\right)\left(4x+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-6\right)\left(4x+3\right)$$