Επίλυση 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Λύση ως προς x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 120 και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-30. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-5 b=6$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+x-30 ως \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το 6 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-5=0 και x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}+4x=120$$

Αφαιρέστε 120 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Η αφαίρεση του 120 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 4 και το c με -120 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 16 και το 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±44}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Διαιρέστε το 40 με το 8.

$$x=5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±44}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 44 από -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Διαιρέστε το -48 με το 8.

$$x=-6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=5 x=-6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Διαιρέστε το 4 με το 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Διαιρέστε το 120 με το 4.

$$x^{2}+x=30$$

Διαιρέστε το 1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 30 και το \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=5 x=-6$$