Επίλυση 4t^2+3t=1

$$4 { t }^{ 2 } +3t = 1$$

Λύση ως προς t

$$t=-1$$

$$t=\frac{1}{4}=0,25$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4t^{2}+at+bt-1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=3 ab=4\left(-1\right)=-4$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -4.

$$-1,4 -2,2$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=-1 b=4$$

Γράψτε πάλι το 4t^{2}+3t-1 ως \left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right).

$$\left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε το t στην εξίσωση 4t^{2}-t.

$$t\left(4t-1\right)+4t-1$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4t-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4t-1\right)\left(t+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 4t-1=0 και t+1=0.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4t^{2}+3t=1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4t^{2}+3t-1=1-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 3 και το c με -1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -1.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 9 και το 16.

$$t=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$t=\frac{-3±5}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$t=\frac{-3±5}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{-3±5}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το 5.

$$t=\frac{2}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$t=\frac{1}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{-3±5}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από -3.

$$t=-\frac{8}{8}$$

Διαιρέστε το -8 με το 8.

$$t=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4t^{2}+3t=1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4t^{2}+3t}{4}=\frac{1}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t=\frac{1}{4}$$

Διαιρέστε το \frac{3}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Προσθέστε το \frac{1}{4} και το \frac{9}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Παραγοντοποιήστε το t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$t+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} t+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{8} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$