Επίλυση 3x+3=x^2+4x+5

$$3x+3= { x }^{ 2 } +4x+5$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}\approx -0,5-1,322875656i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}\approx -0,5+1,322875656i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x+3-x^{2}=4x+5$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$3x+3-x^{2}-4x=5$$

Συνδυάστε το 3x και το -4x για να λάβετε -x.

$$-x+3-x^{2}=5$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές.

$$-x+3-x^{2}-5=0$$

Αφαιρέστε 5 από 3 για να λάβετε -2.

$$-x-2-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}-x-2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με -1 και το c με -2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 1 και το -8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-7}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -7.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το i\sqrt{7}.

$$x=\frac{1+\sqrt{7}i}{-2}$$

Διαιρέστε το 1+i\sqrt{7} με το -2.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε i\sqrt{7} από 1.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+1}{-2}$$

Διαιρέστε το 1-i\sqrt{7} με το -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x+3-x^{2}=4x+5$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$3x+3-x^{2}-4x=5$$

Συνδυάστε το 3x και το -4x για να λάβετε -x.

$$-x+3-x^{2}=5$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές.

$$-x-x^{2}=5-3$$

Αφαιρέστε 3 από 5 για να λάβετε 2.

$$-x-x^{2}=2$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x=2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{2}{-1}$$

Διαιρέστε το -1 με το -1.

$$x^{2}+x=\frac{2}{-1}$$

Διαιρέστε το 2 με το -1.

$$x^{2}+x=-2$$

Διαιρέστε το 1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το -2 και το \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$$

Παραγον x^{2}+x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$