Επίλυση 3x=2sqrt{(x+16)(2x-15)}

$$3x = 2 \sqrt{ (x+16)(2x-15) }$$

Λύση ως προς x

$$x=48$$

$$x=20$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(3x\right)^{2}=\left(2\sqrt{\left(x+16\right)\left(2x-15\right)}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(3x\right)^{2}.

$$3^{2}x^{2}=\left(2\sqrt{\left(x+16\right)\left(2x-15\right)}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 3στη δύναμη του 2 και λάβετε 9.

$$9x^{2}=\left(2\sqrt{\left(x+16\right)\left(2x-15\right)}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+16 με το 2x-15 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$9x^{2}=\left(2\sqrt{2x^{2}+17x-240}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(2\sqrt{2x^{2}+17x-240}\right)^{2}.

$$9x^{2}=2^{2}\left(\sqrt{2x^{2}+17x-240}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$9x^{2}=4\left(\sqrt{2x^{2}+17x-240}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x^{2}+17x-240}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x^{2}+17x-240.

$$9x^{2}=4\left(2x^{2}+17x-240\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το 2x^{2}+17x-240.

$$9x^{2}=8x^{2}+68x-960$$

Αφαιρέστε 8x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}-8x^{2}=68x-960$$

Συνδυάστε το 9x^{2} και το -8x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}=68x-960$$

Αφαιρέστε 68x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-68x=-960$$

Προσθήκη 960 και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-68x+960=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-68x+960 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-68 ab=960$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 960.

$$-1,-960 -2,-480 -3,-320 -4,-240 -5,-192 -6,-160 -8,-120 -10,-96 -12,-80 -15,-64 -16,-60 -20,-48 -24,-40 -30,-32$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-960=-961 -2-480=-482 -3-320=-323 -4-240=-244 -5-192=-197 -6-160=-166 -8-120=-128 -10-96=-106 -12-80=-92 -15-64=-79 -16-60=-76 -20-48=-68 -24-40=-64 -30-32=-62$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -68.

$$a=-48 b=-20$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-48\right)\left(x-20\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-48=0 και x-20=0.

$$x=48 x=20$$

Αντικαταστήστε το x με 48 στην εξίσωση 3x=2\sqrt{\left(x+16\right)\left(2x-15\right)}.

$$3\times 48=2\sqrt{\left(48+16\right)\left(2\times 48-15\right)}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=48 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$144=144$$

Αντικαταστήστε το x με 20 στην εξίσωση 3x=2\sqrt{\left(x+16\right)\left(2x-15\right)}.

$$3\times 20=2\sqrt{\left(20+16\right)\left(2\times 20-15\right)}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=20 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$60=60$$

Λίστα όλων των λύσεων για το 3x=2\sqrt{\left(2x-15\right)\left(x+16\right)}.

$$x=48 x=20$$