Επίλυση 3x=sqrt{x^2+6}-4

$$3x = \sqrt{ { x }^{ 2 } +6 } -4$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε -4 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x+4=\sqrt{x^{2}+6}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(3x+4\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}+6}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x+4\right)^{2}.

$$9x^{2}+24x+16=\left(\sqrt{x^{2}+6}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x^{2}+6}στη δύναμη του 2 και λάβετε x^{2}+6.

$$9x^{2}+24x+16=x^{2}+6$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+24x+16-x^{2}=6$$

Συνδυάστε το 9x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 8x^{2}.

$$8x^{2}+24x+16=6$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές.

$$8x^{2}+24x+16-6=0$$

Αφαιρέστε 6 από 16 για να λάβετε 10.

$$8x^{2}+24x+10=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$4x^{2}+12x+5=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx+5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=12 ab=4\times 5=20$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 12.

$$a=2 b=10$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}+12x+5 ως \left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(2x+1\right)+5\left(2x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x+1=0 και 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Αντικαταστήστε το x με -\frac{1}{2} στην εξίσωση 3x=\sqrt{x^{2}+6}-4.

$$3\left(-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+6}-4$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-\frac{1}{2} ικανοποιεί την εξίσωση.

$$-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$$

Αντικαταστήστε το x με -\frac{5}{2} στην εξίσωση 3x=\sqrt{x^{2}+6}-4.

$$3\left(-\frac{5}{2}\right)=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}+6}-4$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-\frac{5}{2} δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$-\frac{15}{2}=-\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση 3x+4=\sqrt{x^{2}+6} έχει μια μοναδική λύση.

$$x=-\frac{1}{2}$$