Επίλυση 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0,048387097+0,172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0,048387097-0,172964602i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 31, το b με -3 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

Προσθέστε το 9 και το -124.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -115.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -3 είναι 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 3 και το i\sqrt{115}.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε i\sqrt{115} από 3.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$31x^{2}-3x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 31.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

Η διαίρεση με το 31 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 31.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

Διαιρέστε το -\frac{3}{31}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{62}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{62} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{62} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{31} και το \frac{9}{3844} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

Παραγον x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

Προσθέστε \frac{3}{62} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$