Επίλυση 30x+21x^2=3384

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13,428571429$$

$$x=12$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 3384 και από τις δύο πλευρές.

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 7x^{2}+ax+bx-1128. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -7896.

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 10.

$$a=-84 b=94$$

Γράψτε πάλι το 7x^{2}+10x-1128 ως \left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right).

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

Παραγοντοποιήστε 7x στο πρώτο και στο 94 της δεύτερης ομάδας.

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-12 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-12=0 και 7x+94=0.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Αφαιρέστε 3384 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

Η αφαίρεση του 3384 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 21, το b με 30 και το c με -3384 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Υψώστε το 30 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 21.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Πολλαπλασιάστε το -84 επί -3384.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

Προσθέστε το 900 και το 284256.

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 285156.

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 21.

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-30±534}{42} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -30 και το 534.

$$x=\frac{504}{42}$$

Διαιρέστε το 504 με το 42.

$$x=12$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-30±534}{42} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 534 από -30.

$$x=-\frac{564}{42}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-564}{42} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{94}{7}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 21.

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

Η διαίρεση με το 21 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 21.

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{30}{21} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{3384}{21} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

Διαιρέστε το \frac{10}{7}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{7}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{7} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{7} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

Προσθέστε το \frac{1128}{7} και το \frac{25}{49} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

Παραγον x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{7} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$