Επίλυση 30t=225(t+10)^2

$$30 t = 225 ( t + 10 ) ^ { 2 }$$

Λύση ως προς t

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}\approx -9,933333333+1,152774431i$$

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}\approx -9,933333333-1,152774431i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 225 με το t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Αφαιρέστε 225t^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Αφαιρέστε 4500t και από τις δύο πλευρές.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Συνδυάστε το 30t και το -4500t για να λάβετε -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Αφαιρέστε 22500 και από τις δύο πλευρές.

$$-4470t-225t^{2}-22500=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-225t^{2}-4470t-22500=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -225, το b με -4470 και το c με -22500 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{\left(-4470\right)^{2}-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Υψώστε το -4470 στο τετράγωνο.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -225.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900+900\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 900 επί -22500.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-20250000}}{2\left(-225\right)}$$

Προσθέστε το 19980900 και το -20250000.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{-269100}}{2\left(-225\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -269100.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -4470 είναι 4470.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -225.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 4470 και το 30i\sqrt{299}.

$$t=\frac{4470+30\sqrt{299}i}{-450}$$

Διαιρέστε το 4470+30i\sqrt{299} με το -450.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 30i\sqrt{299} από 4470.

$$t=\frac{-30\sqrt{299}i+4470}{-450}$$

Διαιρέστε το 4470-30i\sqrt{299} με το -450.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15} t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 225 με το t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Αφαιρέστε 225t^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Αφαιρέστε 4500t και από τις δύο πλευρές.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Συνδυάστε το 30t και το -4500t για να λάβετε -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-225t^{2}-4470t=22500$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -225.

$$\frac{-225t^{2}-4470t}{-225}=\frac{22500}{-225}$$

Η διαίρεση με το -225 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -225.

$$t^{2}+\left(-\frac{4470}{-225}\right)t=\frac{22500}{-225}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4470}{-225} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 15.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=\frac{22500}{-225}$$

Διαιρέστε το 22500 με το -225.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=-100$$

Διαιρέστε το \frac{298}{15}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{149}{15}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{149}{15} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}=-100+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{149}{15} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-100+\frac{22201}{225}$$

Προσθέστε το -100 και το \frac{22201}{225}.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-\frac{299}{225}$$

Παραγον t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}=-\frac{299}{225}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{299}{225}}$$

Απλοποιήστε.

$$t+\frac{149}{15}=\frac{\sqrt{299}i}{15} t+\frac{149}{15}=-\frac{\sqrt{299}i}{15}$$

Αφαιρέστε \frac{149}{15} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15} t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$