Επίλυση 30b^2-28b-16=0

$$30 b ^ { 2 } - 28 b - 16 = 0$$

Λύση ως προς b

$$b=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$b = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$15b^{2}-14b-8=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 15b^{2}+ab+bb-8. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-14 ab=15\left(-8\right)=-120$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -14.

$$a=-20 b=6$$

Γράψτε πάλι το 15b^{2}-14b-8 ως \left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right).

$$\left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5b στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$5b\left(3b-4\right)+2\left(3b-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3b-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3b-4\right)\left(5b+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3b-4=0 και 5b+2=0.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 30, το b με -28 και το c με -16 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Υψώστε το -28 στο τετράγωνο.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 30.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-120\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Πολλαπλασιάστε το -120 επί -16.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+1920}}{2\times 30}$$

Προσθέστε το 784 και το 1920.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{2704}}{2\times 30}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2704.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±52}{2\times 30}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -28 είναι 28.

$$b=\frac{28±52}{2\times 30}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 30.

$$b=\frac{28±52}{60}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση b=\frac{28±52}{60} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 28 και το 52.

$$b=\frac{80}{60}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{80}{60} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 20.

$$b=\frac{4}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση b=\frac{28±52}{60} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 52 από 28.

$$b=-\frac{24}{60}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-24}{60} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 12.

$$b=-\frac{2}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Προσθέστε 16 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$30b^{2}-28b-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Η αφαίρεση του -16 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$30b^{2}-28b=-\left(-16\right)$$

Αφαιρέστε -16 από 0.

$$30b^{2}-28b=16$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 30.

$$\frac{30b^{2}-28b}{30}=\frac{16}{30}$$

Η διαίρεση με το 30 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 30.

$$b^{2}+\left(-\frac{28}{30}\right)b=\frac{16}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-28}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{16}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{16}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{8}{15}$$

Διαιρέστε το -\frac{14}{15}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{15}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{15} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{8}{15}+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{15} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{8}{15}+\frac{49}{225}$$

Προσθέστε το \frac{8}{15} και το \frac{49}{225} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{169}{225}$$

Παραγον b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{169}{225}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{225}}$$

Απλοποιήστε.

$$b-\frac{7}{15}=\frac{13}{15} b-\frac{7}{15}=-\frac{13}{15}$$

Προσθέστε \frac{7}{15} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$