Επίλυση 3(x-1)-(x-3)div5(x-2)=18

$$3(x-1)-(x-3) \div 5(x-2)=18$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=10+\sqrt{11}i\approx 10+3,31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i+10\approx 10-3,31662479i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 5.

$$15\left(x-1\right)-\left(x-3\right)\left(x-2\right)=90$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 15 με το x-1.

$$15x-15-\left(x-3\right)\left(x-2\right)=90$$

Εφαρμόστε την επιμεριστική ιδιότητα πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο του x-3 με κάθε όρο του x-2.

$$15x-15-\left(x^{2}-2x-3x+6\right)=90$$

Συνδυάστε το -2x και το -3x για να λάβετε -5x.

$$15x-15-\left(x^{2}-5x+6\right)=90$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-5x+6, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$15x-15-x^{2}-\left(-5x\right)-6=90$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5x είναι 5x.

$$15x-15-x^{2}+5x-6=90$$

Συνδυάστε το 15x και το 5x για να λάβετε 20x.

$$20x-15-x^{2}-6=90$$

Αφαιρέστε 6 από -15 για να λάβετε -21.

$$20x-21-x^{2}=90$$

Αφαιρέστε 90 και από τις δύο πλευρές.

$$20x-21-x^{2}-90=0$$

Αφαιρέστε 90 από -21 για να λάβετε -111.

$$20x-111-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+20x-111=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 20 και το c με -111 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-1\right)\left(-111\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 20 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-1\right)\left(-111\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+4\left(-111\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί -111.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-444}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 400 και το -444.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-44}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -44.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{11}i}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-20±2\sqrt{11}i}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -20 και το 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-20+2\sqrt{11}i}{-2}$$

Διαιρέστε το -20+2i\sqrt{11} με το -2.

$$x=-\sqrt{11}i+10$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-20±2\sqrt{11}i}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{11} από -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-20}{-2}$$

Διαιρέστε το -20-2i\sqrt{11} με το -2.

$$x=10+\sqrt{11}i$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\sqrt{11}i+10 x=10+\sqrt{11}i$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 5.

$$15\left(x-1\right)-\left(x-3\right)\left(x-2\right)=90$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 15 με το x-1.

$$15x-15-\left(x-3\right)\left(x-2\right)=90$$

Εφαρμόστε την επιμεριστική ιδιότητα πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο του x-3 με κάθε όρο του x-2.

$$15x-15-\left(x^{2}-2x-3x+6\right)=90$$

Συνδυάστε το -2x και το -3x για να λάβετε -5x.

$$15x-15-\left(x^{2}-5x+6\right)=90$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-5x+6, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$15x-15-x^{2}-\left(-5x\right)-6=90$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5x είναι 5x.

$$15x-15-x^{2}+5x-6=90$$

Συνδυάστε το 15x και το 5x για να λάβετε 20x.

$$20x-15-x^{2}-6=90$$

Αφαιρέστε 6 από -15 για να λάβετε -21.

$$20x-21-x^{2}=90$$

Προσθήκη 21 και στις δύο πλευρές.

$$20x-x^{2}=90+21$$

Προσθέστε 90 και 21 για να λάβετε 111.

$$20x-x^{2}=111$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+20x=111$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+20x}{-1}=\frac{111}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{20}{-1}x=\frac{111}{-1}$$

Διαιρέστε το 20 με το -1.

$$x^{2}-20x=\frac{111}{-1}$$

Διαιρέστε το 111 με το -1.

$$x^{2}-20x=-111$$

Διαιρέστε το -20, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -10. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -10 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-20x+\left(-10\right)^{2}=-111+\left(-10\right)^{2}$$

Υψώστε το -10 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-20x+100=-111+100$$

Προσθέστε το -111 και το 100.

$$x^{2}-20x+100=-11$$

Παραγον x^{2}-20x+100. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-10\right)^{2}=-11$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-10\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Απλοποιήστε.

$$x-10=\sqrt{11}i x-10=-\sqrt{11}i$$

Προσθέστε 10 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=10+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i+10$$