Επίλυση 3z^2-z-5=0

$$3 z ^ { 2 } - z - 5 = 0$$

Λύση ως προς z

$$z = \frac{\sqrt{61} + 1}{6} \approx 1,468374946$$

$$z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}\approx -1,135041613$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3z^{2}-z-5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -1 και το c με -5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -5.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+60}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 1 και το 60.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$z=\frac{1±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$z=\frac{1±\sqrt{61}}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{1±\sqrt{61}}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το \sqrt{61}.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{1±\sqrt{61}}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{61} από 1.

$$z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6} z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}-z-5=0$$

Προσθέστε 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3z^{2}-z-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Η αφαίρεση του -5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3z^{2}-z=-\left(-5\right)$$

Αφαιρέστε -5 από 0.

$$3z^{2}-z=5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3z^{2}-z}{3}=\frac{5}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z=\frac{5}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}=\frac{5}{3}+\frac{1}{36}$$

Προσθέστε το \frac{5}{3} και το \frac{1}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}=\frac{61}{36}$$

Παραγον z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$z-\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} z-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}$$

Προσθέστε \frac{1}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6} z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$