Επίλυση 3z^2+14z-5

$$3 z ^ { 2 } + 14 z - 5$$

Παράγοντας

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3z^{2}+az+bz-5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -15.

$$-1,15 -3,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 14.

$$a=-1 b=15$$

Γράψτε πάλι το 3z^{2}+14z-5 ως \left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right).

$$\left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε z στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$z\left(3z-1\right)+5\left(3z-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3z-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$3z^{2}+14z-5=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$z=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 14 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -5.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196+60}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 196 και το 60.

$$z=\frac{-14±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 256.

$$z=\frac{-14±16}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$z=\frac{-14±16}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{-14±16}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -14 και το 16.

$$z=\frac{2}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$z=\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{-14±16}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 16 από -14.

$$z=-\frac{30}{6}$$

Διαιρέστε το -30 με το 6.

$$z=-5$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{1}{3} με το x_{1} και το -5 με το x_{2}.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z-\left(-5\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z+5\right)$$

Αφαιρέστε z από \frac{1}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$3z^{2}+14z-5=3\times \frac{3z-1}{3}\left(z+5\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 3 και 3.

$$3z^{2}+14z-5=\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$