Επίλυση 3y^2-y-4=0

$$3 y ^ { 2 } - y - 4 = 0$$

Λύση ως προς y

$$y=-1$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3y^{2}+ay+by-4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-4 b=3$$

Γράψτε πάλι το 3y^{2}-y-4 ως \left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right).

$$\left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε το y στην εξίσωση 3y^{2}-4y.

$$y\left(3y-4\right)+3y-4$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3y-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3y-4\right)\left(y+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3y-4=0 και y+1=0.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3y^{2}-y-4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -1 και το c με -4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -4.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 1 και το 48.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$y=\frac{1±7}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$y=\frac{1±7}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{1±7}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 7.

$$y=\frac{8}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$y=\frac{4}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{1±7}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από 1.

$$y=-\frac{6}{6}$$

Διαιρέστε το -6 με το 6.

$$y=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-y-4=0$$

Προσθέστε 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3y^{2}-y-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Η αφαίρεση του -4 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3y^{2}-y=-\left(-4\right)$$

Αφαιρέστε -4 από 0.

$$3y^{2}-y=4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3y^{2}-y}{3}=\frac{4}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y=\frac{4}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

Προσθέστε το \frac{4}{3} και το \frac{1}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

Παραγον y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$y-\frac{1}{6}=\frac{7}{6} y-\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

Προσθέστε \frac{1}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$