Επίλυση 3y^2+y-24

$$3 y ^ { 2 } + y - 24$$

Παράγοντας

$$\left(3y-8\right)\left(y+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3y^{2}+ay+by-24. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=3\left(-24\right)=-72$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-8 b=9$$

Γράψτε πάλι το 3y^{2}+y-24 ως \left(3y^{2}-8y\right)+\left(9y-24\right).

$$\left(3y^{2}-8y\right)+\left(9y-24\right)$$

Παραγοντοποιήστε y στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$y\left(3y-8\right)+3\left(3y-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3y-8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3y-8\right)\left(y+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$3y^{2}+y-24=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -24.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 1 και το 288.

$$y=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 289.

$$y=\frac{-1±17}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$y=\frac{-1±17}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-1±17}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 17.

$$y=\frac{16}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{16}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$y=\frac{8}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-1±17}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 17 από -1.

$$y=-\frac{18}{6}$$

Διαιρέστε το -18 με το 6.

$$y=-3$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{8}{3} με το x_{1} και το -3 με το x_{2}.

$$3y^{2}+y-24=3\left(y-\frac{8}{3}\right)\left(y-\left(-3\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$3y^{2}+y-24=3\left(y-\frac{8}{3}\right)\left(y+3\right)$$

Αφαιρέστε y από \frac{8}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$3y^{2}+y-24=3\times \frac{3y-8}{3}\left(y+3\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 3 και 3.

$$3y^{2}+y-24=\left(3y-8\right)\left(y+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3y-8\right)\left(y+3\right)$$