Επίλυση 3y^2+5y-2

$$3 y ^ { 2 } + 5 y - 2$$

Παράγοντας

$$\left(3y-1\right)\left(y+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3y^{2}+ay+by-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=3\left(-2\right)=-6$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -6.

$$-1,6 -2,3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=-1 b=6$$

Γράψτε πάλι το 3y^{2}+5y-2 ως \left(3y^{2}-y\right)+\left(6y-2\right).

$$\left(3y^{2}-y\right)+\left(6y-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε y στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$y\left(3y-1\right)+2\left(3y-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3y-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3y-1\right)\left(y+2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$3y^{2}+5y-2=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -2.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25+24}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 25 και το 24.

$$y=\frac{-5±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$y=\frac{-5±7}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$y=\frac{-5±7}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-5±7}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το 7.

$$y=\frac{2}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$y=\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-5±7}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από -5.

$$y=-\frac{12}{6}$$

Διαιρέστε το -12 με το 6.

$$y=-2$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{1}{3} με το x_{1} και το -2 με το x_{2}.

$$3y^{2}+5y-2=3\left(y-\frac{1}{3}\right)\left(y-\left(-2\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$3y^{2}+5y-2=3\left(y-\frac{1}{3}\right)\left(y+2\right)$$

Αφαιρέστε y από \frac{1}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$3y^{2}+5y-2=3\times \frac{3y-1}{3}\left(y+2\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 3 και 3.

$$3y^{2}+5y-2=\left(3y-1\right)\left(y+2\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3y-1\right)\left(y+2\right)$$