Επίλυση 3x-15=2x(x-5)

$$3 x - 15 = 2 x ( x - 5 )$$

Λύση ως προς x

$$x=5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x με το x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Προσθήκη 10x και στις δύο πλευρές.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Συνδυάστε το 3x και το 10x για να λάβετε 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -2x^{2}+ax+bx-15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 13.

$$a=10 b=3$$

Γράψτε πάλι το -2x^{2}+13x-15 ως \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο -3 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+5=0 και 2x-3=0.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x με το x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Προσθήκη 10x και στις δύο πλευρές.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Συνδυάστε το 3x και το 10x για να λάβετε 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -2, το b με 13 και το c με -15 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Υψώστε το 13 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 8 επί -15.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-2\right)}$$

Προσθέστε το 169 και το -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -2.

$$x=\frac{-13±7}{-4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±7}{-4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -13 και το 7.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{-4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±7}{-4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από -13.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Διαιρέστε το -20 με το -4.

$$x=5$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3}{2} x=5$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x με το x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Προσθήκη 10x και στις δύο πλευρές.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Συνδυάστε το 3x και το 10x για να λάβετε 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Προσθήκη 15 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$13x-2x^{2}=15$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x=15$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=\frac{15}{-2}$$

Η διαίρεση με το -2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=\frac{15}{-2}$$

Διαιρέστε το 13 με το -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=\frac{15}{-2}$$

Διαιρέστε το 15 με το -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{15}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{13}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{13}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{13}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{13}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{15}{2}+\frac{169}{16}$$

Προσθέστε το -\frac{15}{2} και το \frac{169}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{49}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{7}{4}$$

Προσθέστε \frac{13}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$