Επίλυση 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Παράγοντας

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Βήματα λύσης

Πολλαπλασιάστε και συνδυάστε όμοιους όρους.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Για να παραγοντοποιήσετε την παράσταση, λύστε την εξίσωση όπου ισούται με 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Από το θεώρημα της ορθοΛογικής ρίζας, όλες οι ορθολογικές ρίζες ενός πολυωνύμου είναι στη μορφή \frac{p}{q}, όπου p διαιρεί τον σταθερό όρο -16 και q διαιρεί τον κορυφαίο συντελεστή 3. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=-4$$

Κατά θεώρημα Factor, x-k είναι ένας παράγοντας του πολυωνύμου για κάθε ριζική k. Διαιρέστε το 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 με το x+4 για να λάβετε 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Για να υπολογίσετε το αποτέλεσμα, λύστε την εξίσωση όπου ισούται με 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Από το θεώρημα της ορθοΛογικής ρίζας, όλες οι ορθολογικές ρίζες ενός πολυωνύμου είναι στη μορφή \frac{p}{q}, όπου p διαιρεί τον σταθερό όρο -4 και q διαιρεί τον κορυφαίο συντελεστή 3. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=-4$$

Κατά θεώρημα Factor, x-k είναι ένας παράγοντας του πολυωνύμου για κάθε ριζική k. Διαιρέστε το 3x^{3}+12x^{2}-x-4 με το x+4 για να λάβετε 3x^{2}-1. Για να υπολογίσετε το αποτέλεσμα, λύστε την εξίσωση όπου ισούται με 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 3 για a, 0 για b και -1 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Επιλύστε την εξίσωση 3x^{2}-1=0 όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Γράψτε ξανά την παραγοντοποιημένη παράσταση χρησιμοποιώντας τις ρίζες που έχουν ληφθεί. Το πολυώνυμο 3x^{2}-1 δεν έχει παραγοντοποιηθεί, επειδή δεν έχει λογικές ρίζες.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Υπολογισμός

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Βήματα λύσης

Συνδυάστε το 48x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$