Επίλυση 3x^2-7x=6

$$3 x ^ { 2 } - 7 x = 6$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}-7x-6=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-7 ab=3\left(-6\right)=-18$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-9 b=2$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}-7x-6 ως \left(3x^{2}-9x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(2x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(3x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-3=0 και 3x+2=0.

$$x=3 x=-\frac{2}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}-7x=6$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}-7x-6=6-6$$

Η αφαίρεση του 6 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}-7x-6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -7 και το c με -6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 49 και το 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{7±11}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±11}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το 11.

$$x=\frac{18}{6}$$

Διαιρέστε το 18 με το 6.

$$x=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±11}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από 7.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=3 x=-\frac{2}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x=6$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=\frac{6}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{6}{3}$$

Διαιρέστε το 6 με το 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=2$$

Διαιρέστε το -\frac{7}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=2+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=2+\frac{49}{36}$$

Προσθέστε το 2 και το \frac{49}{36}.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{121}{36}$$

Παραγον x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{11}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{11}{6}$$

Προσθέστε \frac{7}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=-\frac{2}{3}$$