Επίλυση 3x^2-5x-28

$$3 x ^ { 2 } - 5 x - 28$$

Παράγοντας

$$\left(x-4\right)\left(3x+7\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-28. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-5 ab=3\left(-28\right)=-84$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-12 b=7$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}-5x-28 ως \left(3x^{2}-12x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(7x-28\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-4\right)\left(3x+7\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-5x-28=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-28\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-28\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-28\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -28.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+336}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 25 και το 336.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{361}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 361.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±19}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5 είναι 5.

$$x=\frac{5±19}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{5±19}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±19}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 5 και το 19.

$$x=\frac{24}{6}$$

Διαιρέστε το 24 με το 6.

$$x=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±19}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 19 από 5.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-14}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 4 με το x_{1} και το -\frac{7}{3} με το x_{2}.

$$3x^{2}-5x-28=3\left(x-4\right)\left(x-\left(-\frac{7}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$3x^{2}-5x-28=3\left(x-4\right)\left(x+\frac{7}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{7}{3} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$3x^{2}-5x-28=3\left(x-4\right)\times \frac{3x+7}{3}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 3 και 3.

$$3x^{2}-5x-28=\left(x-4\right)\left(3x+7\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-4\right)\left(3x+7\right)$$