Επίλυση 3x^2-4x+8=0

$$3 x ^ { 2 } - 4 x + 8 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{2+2\sqrt{5}i}{3}\approx 0,666666667+1,490711985i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+2}{3}\approx 0,666666667-1,490711985i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}-4x+8=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -4 και το c με 8 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\times 8}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 8.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-96}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 16 και το -96.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-80}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -80.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -4 είναι 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 4 και το 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{4+4\sqrt{5}i}{6}$$

Διαιρέστε το 4+4i\sqrt{5} με το 6.

$$x=\frac{2+2\sqrt{5}i}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4i\sqrt{5} από 4.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+4}{6}$$

Διαιρέστε το 4-4i\sqrt{5} με το 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+2}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{2+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+2}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x+8=0$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}-4x+8-8=-8$$

Η αφαίρεση του 8 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}-4x=-8$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=-\frac{8}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{8}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{4}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{2}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{2}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{8}{3} και το \frac{4}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{20}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{20}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{5}i}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{5}i}{3}$$

Προσθέστε \frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{2+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+2}{3}$$