Επίλυση 3x^2-34x-24

$$3 x ^ { 2 } - 34 x - 24$$

Παράγοντας

$$\left(x-12\right)\left(3x+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-24. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-34 ab=3\left(-24\right)=-72$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -72.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -34.

$$a=-36 b=2$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}-34x-24 ως \left(3x^{2}-36x\right)+\left(2x-24\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(2x-24\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-12 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-12\right)\left(3x+2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-34x-24=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{\left(-34\right)^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -34 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -24.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156+288}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 1156 και το 288.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1444}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1444.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±38}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -34 είναι 34.

$$x=\frac{34±38}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{34±38}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{34±38}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 34 και το 38.

$$x=\frac{72}{6}$$

Διαιρέστε το 72 με το 6.

$$x=12$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{34±38}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 38 από 34.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 12 με το x_{1} και το -\frac{2}{3} με το x_{2}.

$$3x^{2}-34x-24=3\left(x-12\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$3x^{2}-34x-24=3\left(x-12\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{3} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$3x^{2}-34x-24=3\left(x-12\right)\times \frac{3x+2}{3}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 3 και 3.

$$3x^{2}-34x-24=\left(x-12\right)\left(3x+2\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-12\right)\left(3x+2\right)$$